# Kombinatorik

## 1. Würfelspiele

In dieser Präsentation simulieren wir einige Glücksspiele. Alle hier experimentell ermittelten Wahrscheinlichkeiten lassen sich mit den Mitteln der Kombinatorik leicht nachrechnen.

### Zwei normale Würfel

Wir simulieren ein Spiel, bei dem jeder Spieler einen Würfel wirft und die höhere Zahl gewinnt.

    wuerfel = (1,2,3,4,5,6) # Die sechs Seiten des Würfels

    gewonnen = 0
    unentschieden = 0
    verloren = 0

    for i in range(60000): # 60000 mal würfeln
        a1 = wuerfel[rand(6)]
        a2 = wuerfel[rand(6)]
        if a1 > a2:
            gewonnen += 1
        elif a1 < a2:
            verloren += 1
        else:
            unentschieden += 1

    print(gewonnen, "mal gewonnen")
    print(unentschieden, "mal unentschieden")
    print(verloren, "mal verloren")

Das Ergebnis ist nicht sehr überraschend: Die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Würfel die gleiche Zahl wie der erste würfelt, ist 1/6. Die übrigen 5/6 verteilen sich auf den Gewinn des einen oder des anderen Würfels, also je 5/12.

### Zwei ungewöhnliche Würfel

Nun testen wir zwei exotische Würfel: Der erste hat zwei Flächen mit einer Null und vier Seiten mit einer Vier, der zweite hat auf allen sechs Flächen eine Drei. Der erste Würfel gewinnt immer bei Vier und verliert immer bei Null. Offenbar gewinnt also der erste Würfel in 2/3 aller Fälle.
Das überprüfen wir nun experimentell.

    wuerfel1 = (0,0,4,4,4,4)
    wuerfel2 = (3,3,3,3,3,3)

    gewinn12 = 0

    n = 100000
    for i in range(n): # n mal würfeln
        a1 = wuerfel1[rand(6)]
        a2 = wuerfel2[rand(6)]
        if a1 > a2: gewinn12 += 1
    print(100*gewinn12/n, "%")

### Vier merkwürdige Würfel

Wie wir gesehen haben, ist der erste Würfel „besser“ als der zweite.
Jetzt nehmen wir noch einen dritten und einen vierten Würfen dazu und zählen zusätzlich, wie oft der zweite gegen den dritten und der dritte gegen den vierten Würfel gewinnt.

    wuerfel1 = (0,0,4,4,4,4)
    wuerfel2 = (3,3,3,3,3,3)
    wuerfel3 = (2,2,2,2,6,6)
    wuerfel4 = (1,1,1,5,5,5)

    gewinn12, gewinn23, gewinn34 = 0,0,0

    n = 100000
    for i in range(n): # n mal würfeln
        a1 = wuerfel1[rand(6)]
        a2 = wuerfel2[rand(6)]
        a3 = wuerfel3[rand(6)]
        a4 = wuerfel4[rand(6)]
        if a1 > a2: gewinn12 += 1
        if a2 > a3: gewinn23 += 1
        if a3 > a4: gewinn34 += 1
    print("Gewinn 1. gegen 2. Würfel:", 100*gewinn12/n, "%")
    print("Gewinn 2. gegen 3. Würfel:", 100*gewinn23/n, "%")
    print("Gewinn 3. gegen 4. Würfel:", 100*gewinn34/n, "%")

Anscheinend ist der erste Würfel „besser“ als der zweite, der zweite Würfel „besser“ als der dritte und der dritte Würfel „besser“ als der vierte.

Wenn Sie nun für ein Wettwürfeln zwischen dem ersten und dem vierten Würfel wählen könnten, welchen würden Sie nehmen?
Wenn Sie sich entschieden haben, testen Sie bitte einmal:

    wuerfel1 = (0,0,4,4,4,4)
    wuerfel4 = (1,1,1,5,5,5)

    gewinn14 = 0
    n = 100000
    for i in range(n): # n mal würfeln
        a1 = wuerfel1[rand(6)]
        a4 = wuerfel4[rand(6)]
        if a1 > a4: gewinn14 += 1
    print("Gewinn 1. gegen 4. Würfel:", 100*gewinn14/n, "%")

Möchten Sie Ihre Entscheidung jetzt noch einmal überdenken?

### Exakte Gewinnwahrscheinlichkeiten

Die vier Würfel haben folgende Belegung der sechs Flächen:

- Würfel 1: 0,0,4,4,4,4
- Würfel 2: 3,3,3,3,3,3
- Würfel 3: 2,2,2,2,6,6
- Würfel 4: 1,1,1,5,5,5

Die folgenden Tabellen zeigen, dass von den 36 Elementarereignissen der zwei Würfel immer 24 einen Gewinn und 12 einen Verlust ergeben.
Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist also immer 2/3.

Würfel 1 gegen Würfel 2
| 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3
0 |
0
4 |
4
4
4
Würfel 2 gegen Würfel 3
| 2 | 2 | 2 | 2 | 6 | 6
3 |  |
3
3
3
3
3
Würfel 3 gegen Würfel 4
| 1 | 1 | 1 | 5 | 5 | 5
2 |  |
2
2
2
6 |
6
Würfel 4 gegen Würfel 1
| 0 | 0 | 4 | 4 | 4 | 4
1 |  |
1
1
5 |
5
5