# Kettenbrüche

1. Wir basteln einen Mondkalender
2. Wie kommt man auf „optimale Brüche“?

## 1. Wir basteln einen Mondkalender

Ein einfaches Getriebe...

### Das Innenleben

Im nebenstehenden Getriebe muss man das rechte Zahnrad etwas mehr als viermal herumdrehen, damit sich das linke Zahnrad einmal herumdreht.

Genauer: Die roten Zahnräder haben 18 und 8 Zähne, die grauen 15 und 8 Zähne. Damit ergibt sich von links nach rechts eine Übersetzung von (18/8) · (15/8) = 135/32. Das ist rund 4,22.

... und ein Zifferblatt für die äußeren Achsen.

### Das Zifferblatt

Wir wollen dieses Getriebe für einen einfachen Mondkalender verwenden. Da die Zeit von Neumond zu Neumond (synodischer Monat) etwas länger als vier Wochen ist, könnten wir an der rechten Achse einen Wochenzeiger und an der linken Achse einen Mondphasenzeiger anbringen. Dieses Gerät arbeitet unkompliziert und ohne CO2-Ausstoß. Sie brauchen einfach nur jeden Morgen den Tageszeiger um einen Wochentag weiterzudrehen.

### Wie genau ist dieser Kalender?

Wenn Sie sich das einfache Übersetzungsverhältnis anschauen, werden Sie sicher nicht erwarten, dass dieses Lowtech-Gerät längere Zeit genau geht. Um das nachzuprüfen, benötigen wir die mittlere Dauer eines Mondmonats so genau wie möglich. Die finden Sie z.B. in der Wikipedia unter Synodischer Monat. Es sind gerundet 29,53059 Tage.

Vergleichen wir einmal diesen wirklichen Wert mit dem unseres Getriebes:

    echteMondwochen = 29.53059 / 7
    getriebeMondwochen = (18/8) * (15/8)
    relativeAbweichung = getriebeMondwochen/echteMondwochen - 1
    print(relativeAbweichung)

Wir multiplizieren nun die relative Abweichung mit der mittleren Dauer eines Jahres in Tagen. Der Kehrwert davon ergibt die Jahre, die vergehen müssen, bis die Mondphase um einen Tag falsch angezeigt wird (was noch kaum auffällt!):

    tageAbweichungProJahr = relativeAbweichung * 365.24
    jahreBisTagAbweichung = 1/tageAbweichungProJahr
    print(jahreBisTagAbweichung)

Wochentags- und Mondphasen-Anzeige einer Armbanduhr.
Auf der drehbaren Himmelsscheibe befinden sich zwei gegenüberliegende Monde, die durch die herzförmige Blende abgedeckt werden.

Sie sehen, dass unser einfaches Getriebe erstaunlich genau ist: Erst nach 122 Jahren ist die Mondphase um nur einen Tag verschoben. Getriebe mit dieser Genauigkeit werden auch in vielen Armbanduhren mit Mondphasenanzeige verwendet.

Da die Himmelsscheibe sich wegen der zwei Monde in einem (synodischen) Monat nur halb drehen darf, muss für die Übersetzung vom Wochenzeiger auf die Mondscheibe unser berechnetes Verhältnis auf 135/16 verdoppelt werden.

Solche Anzeigen sind übrigens etwas unrealistisch, weil sie immer eine kreisförmige Beleuchtungsgrenze zeigen. In Wirklichkeit ist diese Grenze natürlich elliptisch (und im ersten und letzten Viertel geradlinig)!

Fortsetzung:
2. Wie kommt man auf „optimale Brüche“?