# Summen von natürlichen Zahlen

1. Die ersten hundert natürlichen Zahlen
2. Summen von Quadrat- und Kubikzahlen
3. Summen höherer Potenzen

## 2. Summen von Quadrat- und Kubikzahlen

In der nebenstehenden Abbildung sehen Sie die Summe der Quadratzahlen 12 + 22 + 32 + 42 aus Einheitswürfeln.
Mit Halbwürfeln und Mini-Pyramiden können wir die Stufenpyramide zu einer glatten Pyramide mit der Grundfläche (n+1)·(n+1) und der Höhe n+1 ergänzen. Diese Pyramide hat also das Volumen (n+1)3/3.

Dazu brauchen wir am Rand der Ebene i (von oben gezählt) 2·i Halbwürfel, außerdem je eine Mini-Pyramide (Volumen 1/3) in jeder Etage und noch eine ganz oben.

Damit ergibt sich:

\def\blue{\bbox[#c0e0ff,2pt]} \def\green{\bbox[#d0ffd0,2pt]} \def\ocher{\bbox[#ffe0a0,2pt]} \frac{(n+1)^3} 3 = \blue{\sum_{i=1}^n {i^2}} + \green{\sum_{i=1}^n i} + \ocher{\frac{(n+1)} 3}
Wir lösen die Gleichung nach der gesuchten (blauen) Summe auf und setzen für die grüne Summe die schon bekannte Formel ein:
\def\blue{\bbox[#c0e0ff,2pt]} \def\green{\bbox[#d0ffd0,2pt]} \def\ocher{\bbox[#ffe0a0,2pt]} \def\gray{\bbox[#f0f0f0,2pt]} \eqalign{ \blue{\sum_{i=1}^n {i^2}} & = \frac{(n+1)^3} 3 - \green{\frac{n(n+1)} 2} - \ocher{\frac{(n+1)} 3} \cr & = \gray{\frac{(n+1)} 6} (2(n+1)^2 - \green{3n} -\ocher2)) \cr & = \frac{(n+1) (2n^2 + n)} 6 \cr & = \blue{\frac{n(n+1)(2n+1)} 6} }

Die Summe 13 + 23 + 33 + 43 + 53 passt genau in ein Quadrat mit der Kantenlänge 1 + 2 + 3 + 4 + 5.

## Summen von Kubikzahlen

Mit dem nebenstehend abgebildeten Trick kann man sogar Summen von Kubikzahlen geometrisch darstellen:

Die blauen Rahmen umfassen (von links unten nach rechts oben)

- ein einzelnes Quadrat (Fläche: 13),
- 3 Quadrate mit der Kantenlänge 3 (Gesamtfläche: 33),
- 5 Quadrate mit der Kantenlänge 5 (Gesamtfläche: 53).

Das kann man so für alle ungeraden Zahlen fortsetzen.

In die Zwischenräume packen wir die geraden Kubikzahlen 23 und 43 in Form von 2 Quadraten mit der Kantenlänge 2 und 4 Quadraten mit der Kantenlänge 4. Die Quadrate passen zwar nicht genau, aber die frei bleibenden Flächen werden exakt durch die doppelt belegten Flächen ausgeglichen.

Offenbar ist also 13 + 23 + 33 + 43 + 53 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2.
Allgemein gilt demnach die erstaunliche Formel:

\sum_{i=1}^n{i^3} = {\left( \sum_{i=1}^n i \right) }^2

Mit der schon bekannten Formel

\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)} 2

ergibt sich daraus

\sum_{i=1}^n{i^3} = {\left(\frac{n(n+1)} 2 \right)}^2 = \frac{n^2(n+1)^2} 4

Fortsetzung: Summen höherer Potenzen